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双方都不可以请求离婚损害赔偿。
根据民法典规定，有以下情形之一导致离婚的，无过错方有权请求离婚损害赔偿：
(一)重婚；
(二)与他人同居；
(三)实施家庭暴力；
(四)虐待、遗弃家庭成员；
(五)有其他重大过错。
夫妻一方遗弃孩子，另一方家暴，双方都有过错，没有一方是无过错方，而法律规定只有无过错方有权提起离婚损害赔偿，所以双方都不能提起离婚损害赔偿。
【法律依据】
《民法典》第一千零九十一条，有下列情形之
一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：
(一)重婚；
(二)与他人同居；
(三)实施家庭暴力；
(四)虐待、遗弃家庭成员；
(五)有其他重大过错。
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